[백준/BOJ/C++] 2579번 계단 오르기 - Dynamic Programming

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1. 문제

계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다. <그림 1>과 같이 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.

예를 들어 <그림 2>와 같이 시작점에서부터 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 여섯 번째 계단을 밟아 도착점에 도달하면 총 점수는 10 + 20 + 25 + 20 = 75점이 된다.

계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.

1. 계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
2. 연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안 된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
3. 마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.

따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다. 하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.

각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

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2. 입력

입력의 첫째 줄에 계단의 개수가 주어진다.

둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 제일 아래에 놓인 계단부터 순서대로 각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어진다. 계단의 개수는 300이하의 자연수이고, 계단에 쓰여 있는 점수는 10,000이하의 자연수이다.

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3. 출력

첫째 줄에 계단 오르기 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 출력한다.

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4. 풀이

이 문제의 규칙을 다시한번 정리하자면 계단을 오를때 +1 또는 +2 칸을 오를 수 있고, 시작점을 제외하고 연속된 세 계단을 밟으면 안된다. 이 두번째 규칙은 다시 얘기하자면 +1 +1을 연속으로 오르면 안된다는 얘기다. 

따라서, 도착하는 계단을 기준으로 했을 때, 1) 2계단을 올라와서 도착하거나 2) +2계단을 한 다음 +1 계단을 해서 올라오는 경우. 이렇게 두가지로 구분할 수 있다. 

도착점을 기준으로 dp 배열을 채워나가야 하기 때문에 먼저 1,2,3번째 dp 배열을 채워준다.

1번째 계단까지의 최대값은 첫번째 계단의 값이다.

2번째 계단까지는 +1 +1 또는 +2 중 최대값을 택해야하는데, 거쳐가는 계단수가 많을수록 최대값이 커지게된다. 따라서, 2번째 계단의 최대값은 (첫번째 계단 + 두번째 계단)이다.

3번째 계단의 최대값은 +1 +2(첫번째 계단 + 세번째 계단) 또는 +2 +1(두번째 계단 + 세번째 계단) 중 더 큰 값이 최대값이다.

이렇게 세번째 계단까지 계산해서 dp 배열을 채워준 다음, 위의 사진처럼 도착계단을 기준으로 -2계단의 최대값에 현재 계단값을 더한것과 -3계단의 최대값에 -1계단과 현재 계단값을 더한것 중 더 큰 값을 취하면 된다.

5. 소스코드

#include <iostream>
using namespace std;
int max(int a, int b){
    return a > b ? a : b;
}
int main(){
    int N; // 계단 개수 
    cin >> N; //계단 입력

    int stair[501] = {0, }; //계단 점수 입력할 배열
    int dp[501] = {0, }; //최대값 저장 배열

    //계단 점수 입력
    for(int i = 1; i < N+1; i++){
        cin>>stair[i]; 
    }

    dp[1] = stair[1]; //첫번째 계단까지의 최대값은 첫번째 계단의 값.
    dp[2] = stair[1] + stair[2]; //두번째 계단까지의 최대값은 (첫번째 계단 + 두번째 계단)
    dp[3] = max(stair[1] + stair[3], stair[2] + stair[3]); //세번째 계단은 +1 +2 or +2 +1 중 최대값

    for(int i = 4; i < N+1; i++){
        dp[i] = max(dp[i - 2] + stair[i], dp[i - 3] + stair[i -1] + stair[i]);
    }

    cout << dp[N] << endl;
}